24. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см²?

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза.

По условию:

$$c = 73 \text{ см}$$ $$S = 1320 \text{ см}^2$$

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S = \frac{1}{2}ab$$ $$ab = 2S = 2 \cdot 1320 = 2640$$

По теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = c^2 = 73^2 = 5329$$

Выразим (a+b)^2:

$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 5329 + 2 \cdot 2640 = 5329 + 5280 = 10609$$ $$a+b = \sqrt{10609} = 103$$

Выразим (a-b)^2:

$$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 5329 - 2 \cdot 2640 = 5329 - 5280 = 49$$ $$a-b = \sqrt{49} = 7$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} a + b = 103 \\ a - b = 7 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2a = 110$$ $$a = 55 \text{ см}$$

Тогда:

$$b = 103 - 55 = 48 \text{ см}$$

Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны 55 см и 48 см.