4. Через точку А окружности проведены хорда АС и диаметр АВ. Из вершины С треугольника АВС проведена высота CD. Найдите диаметр окружности, если AD = 27 см, а хорда равна 45 см.

Решение: 1. Так как АВ - диаметр окружности, то $$\angle ACB = 90^\circ$$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Следовательно, $$\triangle ABC$$ - прямоугольный треугольник с прямым углом C. 2. CD - высота, проведенная из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу. То есть, $$CD^2 = AD \cdot DB$$. 3. Также, катет AC есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. То есть, $$AC^2 = AD \cdot AB$$. 4. Выразим AB: $$AB = \frac{AC^2}{AD} = \frac{45^2}{27} = \frac{2025}{27} = 75$$ см. Ответ: Диаметр окружности равен 75 см.