3. Через точку С окружности с центром О проведена касательная АВ, причем АО = ОВ. Докажите, что АС = СВ.

Решение: 1. Поскольку АВ - касательная к окружности в точке С, то радиус ОС перпендикулярен касательной АВ (ОС ⊥ АВ). Следовательно, $$\angle OCA = \angle OCB = 90^\circ$$. 2. Дано, что АО = ОВ. О - середина отрезка АВ. 3. Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BOC$$. У них: - ОС - общая сторона; - АО = ОВ (по условию); - $$\angle OCA = \angle OCB = 90^\circ$$. 4. Следовательно, $$\triangle AOC = \triangle BOC$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: АС = ВС. Что и требовалось доказать.