11. ... Через точку на биссектрисе угла параллельно его сторонам прове- ли две прямые. Они отсекают от дан- ного угла четырёхугольник. Докажи- те, что все его стороны равны. ( рис.)

Решение:

Пусть дан угол с вершиной O. Через точку E на биссектрисе этого угла проведены прямые AB и CD, параллельные сторонам угла, так что A и C лежат на одной стороне угла, а B и D - на другой. Тогда образуется четырехугольник AECD.

Так как AE || OC и CE || OA, то четырехугольник AECD - параллелограмм. Поскольку OE - биссектриса угла AOC, то угол AOE равен углу COE. Рассмотрим треугольники AOE и COE. У них сторона OE общая, угол AOE равен углу COE, а углы OAE и OCE прямые (так как AE || OC и CE || OA). Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда AE = CE. Так как AECD - параллелограмм и AE = CE, то все стороны этого параллелограмма равны, т.е. AECD - ромб.

Ответ: доказано