12. Через точку О, лежащую внутри треугольника АВС, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Площади образовавшихся при этом треугольников равны S1, S2, S3. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Пусть внутри треугольника $$ABC$$ взята точка $$O$$. Через неё проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Получились три треугольника с площадями $$S_1$$, $$S_2$$, $$S_3$$.

Пусть площади этих треугольников $$S_1 = k_1^2 S$$, $$S_2 = k_2^2 S$$, $$S_3 = k_3^2 S$$, где $$S$$ площадь треугольника $$ABC$$. Так как стороны этих треугольников параллельны сторонам треугольника $$ABC$$, то углы этих треугольников равны углам треугольника $$ABC$$. Следовательно, эти треугольники подобны треугольнику $$ABC$$. Коэффициенты подобия обозначены как $$k_1$$, $$k_2$$, $$k_3$$.

Сумма коэффициентов подобия равна 1, то есть \(k_1 + k_2 + k_3 = 1\). Возведем это равенство в квадрат: \((k_1 + k_2 + k_3)^2 = 1\). Тогда получим: \(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + 2k_1k_2 + 2k_1k_3 + 2k_2k_3 = 1\). Заменим \(k_i^2 = \frac{S_i}{S}\), тогда \(\frac{S_1}{S} + \frac{S_2}{S} + \frac{S_3}{S} + 2k_1k_2 + 2k_1k_3 + 2k_2k_3 = 1\).

Извлечем корень из площадей: \(k_1 = \sqrt{\frac{S_1}{S}}\, k_2 = \sqrt{\frac{S_2}{S}}\, k_3 = \sqrt{\frac{S_3}{S}}\). Тогда \(\sqrt{\frac{S_1}{S}} + \sqrt{\frac{S_2}{S}} + \sqrt{\frac{S_3}{S}} = 1\). Домножим на \(\sqrt{S}\): \(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3} = \sqrt{S}\). Возведём в квадрат обе части \(S = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3})^2\)

Ответ: $$(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3})^2$$