13. В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD провели высоту СН. Отрезок ВН делит диагональ АС в отношении 5: 2, считая от вершины А. Найдите длину AD, если ВС = 8.

Решение:

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию $$ABCD$$ с основаниями $$BC$$ и $$AD$$, $$AD > BC$$. Проведём высоту $$CH$$. Из условия $$BC = 8$$ и $$BH$$ делит диагональ $$AC$$ в отношении 5:2, считая от вершины $$A$$. Обозначим точку пересечения $$AC$$ и $$BH$$ через $$O$$. Тогда \(\frac{AO}{OC} = \frac{5}{2}\).

2) Т.к. трапеция равнобедренная, то $$AH = (AD - BC)/2$$. Обозначим $$AH = x$$, тогда $$AD = 2x + BC = 2x + 8$$. $$HD = AH + AD = 3x + 8$$, а $$BH = AD - AH = x + 8$$.

3) Рассмотрим треугольник $$ACH$$. $$BO$$ делит $$AC$$ в отношении 5:2 и $$BH$$ делит $$AH$$ в отношении $$x:8+x$$. По теореме Менелая \(\frac{AO}{OC} \cdot \frac{CH}{HA} \cdot \frac{AB}{BO} = 1\). Так как \(\frac{AO}{OC} = \frac{5}{2}\), то \(\frac{5}{2} \cdot \frac{CH}{HA} \cdot \frac{AB}{BO} = 1\), \(\frac{AO}{OC} = \frac{5}{2}\).

Ответ: Нет данных