11. Прямая, параллельная основаниям AD и ВС трапеции АВСD, проходит через точку пересече- ния диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 10 см, ВС = 15 см.

Решение:

Пусть $$O$$ - точка пересечения диагоналей трапеции $$ABCD$$, $$EF$$ - прямая, параллельная основаниям, проходящая через точку $$O$$, $$AD = 10$$, $$BC = 15$$.

1) Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$AOD$$. Они подобны по двум углам ($$\angle BOC = \angle AOD$$ как вертикальные, $$\angle CBO = \angle ADO$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$BD$$). Тогда \(\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\)

2) Рассмотрим треугольник $$ABD$$. В нём $$EO || AD$$. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках \(\frac{BE}{EA} = \frac{BO}{OD} = \frac{3}{2}\).

3) Рассмотрим треугольник $$ABC$$. В нём $$EO || BC$$. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках \(\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{2}{3}\).

4) Рассмотрим треугольник $$ABC$$. В нём $$OE || BC$$. Тогда по теореме Фалеса \(\frac{EO}{BC} = \frac{AO}{AC} = \frac{2}{5}\), следовательно, \(EO = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6\).

5) Рассмотрим треугольник $$ACD$$. В нём $$OF || AD$$. Тогда по теореме Фалеса \(\frac{OF}{AD} = \frac{OC}{AC} = \frac{3}{5}\), следовательно, \(OF = \frac{3}{5}AD = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6\).

6) Тогда $$EF = EO + OF = 6 + 6 = 12$$ см.

Ответ: 12 см