1. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна 2см, проведена прямая ОМ, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата, если ОМ = 3см.

Пусть ABCD - данный квадрат со стороной 2 см, точка O - точка пересечения диагоналей. Так как OM перпендикулярна плоскости квадрата, то OM перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности OA, OB, OC, OD. Таким образом, треугольники OMA, OMB, OMC и OMD - прямоугольные. 1. Найдем длину диагонали квадрата AC. Так как сторона квадрата равна 2 см, то по теореме Пифагора: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$$, следовательно, $$AC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ см. 2. Так как O - точка пересечения диагоналей квадрата, то $$AO = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ см. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA. По теореме Пифагора: $$MA^2 = OM^2 + OA^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$$, следовательно, $$MA = \sqrt{11}$$ см. Так как OA = OB = OC = OD, и OM перпендикулярна плоскости квадрата, то MA = MB = MC = MD. Таким образом, расстояние от точки M до каждой из вершин квадрата равно $$\sqrt{11}$$ см. Ответ: $$\sqrt{11}$$ см.