Через вершину А прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр АК. Точка К удалена от стороны ВС на 15 см. Найдите расстояние от точки К до стороны CD, если BD = √337 см. АК = 12 см.

1. Пусть точка М - основание перпендикуляра, опущенного из точки К на сторону ВС. Тогда КМ = 15 см.

2. Т.к. АК перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD, то АК перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, АК перпендикулярна АВ. Т.е. треугольник АКВ - прямоугольный.

3. По теореме Пифагора:

$$KB = \sqrt{AK^2 + AB^2}$$, $$AB = \sqrt{KB^2 - AK^2}$$

4. Т.к. ABCD - прямоугольник, то АВ = CD и ВС = AD, т.е. нужно найти расстояние от точки К до стороны CD, а это будет равно расстоянию от точки К до стороны АВ.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник KMB:

$$KB = \sqrt{KM^2 + MB^2}$$

6. Т.к. MB = AD, то KD = \(\sqrt{337}\) см.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:

$$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{AB^2 + MB^2}$$

8. Т.к. АК перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD, то АК перпендикулярна AD, т.е. треугольник AKD - прямоугольный.

9. По теореме Пифагора:

$$KD = \sqrt{AK^2 + AD^2}$$, $$AD = \sqrt{KD^2 - AK^2} = \sqrt{(\sqrt{337})^2 - 12^2} = \sqrt{337 - 144} = \sqrt{193}$$

10. Найдем АВ:

$$AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{337 - 193} = \sqrt{144} = 12$$

11. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKB:

$$KB = \sqrt{AK^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$$

12. Рассмотрим прямоугольный треугольник KMB:

$$KB = \sqrt{KM^2 + MB^2}$$, $$KM^2 = KB^2 - MB^2 = (12\sqrt{2})^2 - (\sqrt{193})^2 = 288 - 193 = 95$$, $$KM = \sqrt{95}$$

13. Расстояние от точки К до стороны CD равно KM.

Ответ: расстояние от точки К до стороны CD равно $$ \sqrt{95} $$ см.