3. Точка F находится на расстоянии 5√3 см от каждой вершины квадра- та ABCD, сторона которого равна 10 см. Найдите расстояние от точ- ки F до плоскости квадрата.

Пусть O - центр квадрата ABCD. Тогда AO = BO = CO = DO. Так как точка F находится на расстоянии 5√3 см от каждой вершины квадрата, то FA = FB = FC = FD = 5√3 см.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник AOF. По теореме Пифагора: $$FO^2 = FA^2 - AO^2$$.

2) Диагональ квадрата $$AC = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \text{ см}$$. Тогда $$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$$.

3) $$FO = \sqrt{FA^2 - AO^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 \cdot 3 - 25 \cdot 2} = \sqrt{75 - 50} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$.

Ответ: расстояние от точки F до плоскости квадрата равно 5 см.