Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.

Пусть дан треугольник ABC со сторонами AB = 13 см, BC = 14 см и AC = 15 см. Пусть точка D находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Нужно найти расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC.

1. Найдем полупериметр треугольника ABC:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

2. Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$

3. Найдем радиус вписанной окружности в треугольник ABC:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$$

4. Рассмотрим треугольник, образованный расстоянием от точки D до стороны, расстоянием от центра вписанной окружности до этой же стороны и расстоянием от точки D до плоскости треугольника. По теореме Пифагора:

$$d^2 = h^2 + r^2$$, где d - расстояние от точки D до стороны треугольника, h - расстояние от точки D до плоскости треугольника, r - радиус вписанной окружности. $$h = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$$

Ответ: расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 3 см.