4. Через вершину А прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр АК. Точка К удалена от стороны ВС на 15 см. Найди- те расстояние от точки К до стороны CD, если BD = √337 см, АК = 12 см.

1) Пусть KD - расстояние от точки K до стороны CD, KE - расстояние от точки K до стороны BC, KO - расстояние от точки K до точки O (точка пересечения диагоналей прямоугольника).

2) Так как KE - расстояние от точки K до стороны BC, то KE ⊥ BC. Аналогично KD ⊥ CD.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник AKE. По теореме Пифагора: $$KE^2 = AK^2 + AE^2$$, где KE = 15 см, AK = 12 см.

$$AE = \sqrt{KE^2 - AK^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$$.

Следовательно, $$AB = AE = 9 \text{ см}$$.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: $$BD^2 = AB^2 + AD^2$$, где $$BD = \sqrt{337} \text{ см}$$, $$AB = 9 \text{ см}$$.

$$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{(\sqrt{337})^2 - 9^2} = \sqrt{337 - 81} = \sqrt{256} = 16 \text{ см}$$.

Следовательно, $$CD = AD = 16 \text{ см}$$.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник AKD. По теореме Пифагора: $$KD^2 = AK^2 + AD^2$$, где $$AK = 12 \text{ см}$$, $$AD = 16 \text{ см}$$.

$$KD = \sqrt{AK^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$$.

Ответ: расстояние от точки K до стороны CD равно 20 см.