5. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 5 см от каждой стороны тре- угольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости тре- угольника.

Пусть дан треугольник ABC со сторонами AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см. Пусть O - некоторая точка пространства, находящаяся на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Пусть H - основание перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость треугольника ABC.

1) Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см}$$.

$$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84 \text{ см}^2$$.

2) Площадь треугольника ABC можно выразить через радиус вписанной окружности: $$S = pr$$, где $$p = 21 \text{ см}$$, $$S = 84 \text{ см}^2$$.

$$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4 \text{ см}$$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник OHT, где T - точка касания вписанной окружности со стороной треугольника. По теореме Пифагора: $$OT^2 = OH^2 + HT^2$$, где OT = 5 см, HT = r = 4 см.

$$OH = \sqrt{OT^2 - HT^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$.

Ответ: расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 3 см.