4. Через вершину А прямоугольника АВСD к его плоскости проведён перпендикуляр АК. Точка К удалена от стороны ВС на 15 см. Найдите расстояние от точки К до стороны CD, если BD = √337 см, АК = 12 см.

1) АК перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD, значит АК ⊥ AD и АК ⊥ AB.

2) Пусть КМ - перпендикуляр, опущенный из точки К на сторону ВС. По условию КМ = 15 см. Так как АК перпендикулярна плоскости прямоугольника, то АК ⊥ ВС. Тогда AM ⊥ BC по теореме о трех перпендикулярах.

3) Следовательно, AM ⊥ BC, AM ⊥ BC и AB ⊥ BC, значит АМ = АВ, а АВ = 15 см. Треугольник АКВ - прямоугольный, так как АК ⊥ АВ. По теореме Пифагора, $$KB = \sqrt{AK^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369}$$ см.

4) Рассмотрим прямоугольник ABCD. По теореме Пифагора, $$BD^2 = AB^2 + AD^2$$. По условию BD = √337 см, AB = 15 см. Следовательно, $$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{337 - 225} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$$ см.

5) Пусть KN - перпендикуляр, опущенный из точки K на сторону CD. Тогда AN ⊥ CD по теореме о трех перпендикулярах, а AN = AD = $$4\sqrt{7}$$ см. Треугольник AKN - прямоугольный, так как АК ⊥ AD.

6) По теореме Пифагора, $$KN = \sqrt{AK^2 + AN^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{7})^2} = \sqrt{144 + 16 \cdot 7} = \sqrt{144 + 112} = \sqrt{256} = 16$$ см.

Ответ: расстояние от точки К до стороны CD равно 16 см.