5. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.

Пусть дан треугольник ABC со сторонами AB = 13 см, BC = 14 см и AC = 15 см. Точка F находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника. Пусть O - проекция точки F на плоскость треугольника ABC. Тогда O - центр вписанной окружности треугольника ABC.

1) Найдем полупериметр треугольника ABC. p = (AB + BC + AC)/2 = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21 см.

2) Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона.

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$ см².

3) Найдем радиус вписанной окружности. r = S/p = 84/21 = 4 см.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник FOK, где K - точка касания вписанной окружности со стороной AB. FK = 5 см, OK = r = 4 см. По теореме Пифагора:

$$FO = \sqrt{FK^2 - OK^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$$ см.

Ответ: расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 3 см.