3. Точка F находится на расстоянии 5√3 см от каждой вершины квадрата ABCD, сторона которого равна 10 см. Найдите расстояние от точки F до плоскости квадрата.

1) Пусть O - центр квадрата ABCD. Так как точка F находится на одинаковом расстоянии от всех вершин квадрата, то основание перпендикуляра из F к плоскости квадрата совпадает с центром квадрата.

2) Рассмотрим квадрат ABCD. Тогда AO = OC = BO = OD. AC - диагональ квадрата. По теореме Пифагора, $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$. Следовательно, AO = AC/2 = $$10\sqrt{2}/2 = 5\sqrt{2}$$ см.

3) Рассмотрим треугольник AOF - прямоугольный, так как FO перпендикулярна плоскости квадрата, значит FO ⊥ AO.

4) По теореме Пифагора, $$FO = \sqrt{AF^2 - AO^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{75 - 50} = \sqrt{25} = 5$$ см.

Ответ: расстояние от точки F до плоскости квадрата равно 5 см.