2. Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная плоскости ромба. Найдите расстояние от точки М до прямой АС, если МВ = 12 см, DC = 16 см, АС = 20 см.

1) Рассмотрим ромб ABCD. Пусть O - точка пересечения диагоналей ромба. Тогда AO = OC = AC/2 = 20/2 = 10 см.

2) Так как диагонали ромба перпендикулярны, то треугольник AOB - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2}$$

Так как все стороны ромба равны, то AB = DC = 16 см. Следовательно,

$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{16^2 - 10^2} = \sqrt{256 - 100} = \sqrt{156}$$

3) BM перпендикулярна плоскости ромба, значит BM перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности BM ⊥ AC. Тогда треугольник BMO - прямоугольный.

4) MO - перпендикуляр, BM - перпендикуляр к плоскости ромба, значит MO - проекция прямой AM на плоскость ромба. Тогда AM ⊥ AC по теореме о трех перпендикулярах.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник BMO. По теореме Пифагора:

$$MO = \sqrt{MB^2 + BO^2} = \sqrt{12^2 + (\sqrt{156})^2} = \sqrt{144 + 156} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$

Ответ: расстояние от точки М до прямой АС равно $$10\sqrt{3}$$ см.