248 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, па- раллельная его биссектрисе АА₁ и пересекающая прямую АВ в точке Д. Докажите, что AC = AD.

Пусть дан треугольник ABC. AA₁ - биссектриса угла A. Через вершину C проведена прямая, параллельная AA₁, которая пересекает прямую AB в точке D. Нужно доказать, что AC = AD.

Доказательство:

1. Обозначим ∠BAA₁ = ∠CAA₁ = α, так как AA₁ - биссектриса угла A.

2. Пусть прямая CD параллельна AA₁.

3. Тогда ∠CDA = ∠BAA₁ = α как соответственные углы при параллельных прямых CD и AA₁ и секущей AB.

4. ∠ACA₁ = ∠CDA = α как накрест лежащие углы при параллельных прямых CD и AA₁ и секущей AC.

5. Следовательно, ∠DAC = ∠CDA = α.

6. В треугольнике ADC углы при стороне AC равны, следовательно, треугольник ADC равнобедренный с основанием AC.

7. В равнобедренном треугольнике стороны, прилежащие к основанию, равны, то есть AC = AD.

Ответ: AC = AD.