42. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.

Пусть дана треугольник ABC, и биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC. Обозначим внешний угол при вершине B как \(\angle CBE\). Так как биссектриса параллельна AC, то \(\angle CBE\) = \(2 \cdot \angle ACB\). Так же \(\angle CBE\) + \(\angle ABC\) = 180 градусов(смежные углы), \(\angle ABC\) = \(180 - 2 \cdot \angle ACB\). По теореме о сумме углов треугольника \(\angle BAC\) = 180 - \(\angle ACB\) - (180 - 2 \cdot \angle ACB\)) = \(\angle ACB\). Следовательно углы \(\angle BAC\) и \(\angle ACB\) равны, значит треугольник ABC-равнобедренный.