250 Через точку пересечения биссектрис ВВ, и СС₁ треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках Ми М. Докажите, что MN = BM + CN.

К сожалению, в задаче опечатка. В условии задачи в фразе:

"стороны АВ и АС соответственно в точках Ми М"

вторая точка должна называться N, а не М, иначе задача не имеет решения.

Дано: треугольник ABC, BB₁ и CC₁ - биссектрисы углов B и C соответственно, O - точка пересечения биссектрис, MN || BC, M ∈ AB, N ∈ AC.

Доказать: MN = BM + CN.

Доказательство:

1) Так как BO - биссектриса угла B, то ∠OBC = ∠OBM.

2) Так как MN || BC, то ∠MOB = ∠OBC как накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и BC и секущей OB.

3) Из равенств ∠OBC = ∠OBM и ∠MOB = ∠OBC следует, что ∠OBM = ∠MOB.

4) В треугольнике BOM углы при стороне OB равны (∠OBM = ∠MOB), следовательно, треугольник BOM - равнобедренный с основанием OB.

5) В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, BM = MO.

6) Аналогично, так как CO - биссектриса угла C, то ∠OCB = ∠OCN.

7) Так как MN || BC, то ∠NOC = ∠OCB как накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и BC и секущей OC.

8) Из равенств ∠OCB = ∠OCN и ∠NOC = ∠OCB следует, что ∠OCN = ∠NOC.

9) В треугольнике CON углы при стороне OC равны (∠OCN = ∠NOC), следовательно, треугольник CON - равнобедренный с основанием OC.

10) В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, CN = NO.

11) Так как MN = MO + NO, BM = MO и CN = NO, то MN = BM + CN.

Ответ: MN = BM + CN, что и требовалось доказать.