Через вершины В и С треугольника АВС проведена ок- ружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках М и N соответственно. Докажите, что треугольники АВС и MAN подобны. Найдите отрезки АМ и MN, если АВ = 9 см, ВС = 12 см, АС = 10 см, AN = 3 см.

1. Доказательство подобия треугольников ABC и AMN:

Так как окружность проходит через вершины B и C и пересекает стороны AB и AC в точках M и N, углы ∠ABC и ∠ANC опираются на одну и ту же дугу AC, а значит, ∠ABC = ∠ANC. Аналогично, ∠ACB = ∠AMB.

Рассмотрим треугольники ABC и AMN.

∠A - общий.

∠ABC = ∠ANC (как углы, опирающиеся на одну дугу).

Следовательно, треугольники ABC и AMN подобны по двум углам (первый признак подобия).

2. Найдем отрезки AM и MN:

Так как треугольники ABC и AMN подобны, то AM / AC = AN / AB

AM / 10 = 3 / 9

AM = (3 * 10) / 9 = 30 / 9 = 10 / 3 ≈ 3.33 см

Далее, найдем MN.

MN / BC = AN / AB

MN / 12 = 3 / 9

MN = (3 * 12) / 9 = 36 / 9 = 4 см

Ответ: Треугольники ABC и MAN подобны, AM = 10/3 см ≈ 3.33 см, MN = 4 см.