16. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол CAD равен 70°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

По свойству вписанного четырехугольника, сумма противоположных углов равна 180°. Следовательно, \(\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\). Угол \(\angle ADC\) состоит из углов \(\angle ADB\) и \(\angle BDC\). Углы \(\angle CAD\) и \(\angle CBD\) опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны: \(\angle CBD = \angle CAD = 70^\circ\). Углы \(\angle ABD\) и \(\angle ACD\) также опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Так как \(\angle ABC = 112^\circ\) и \(\angle CBD = 70^\circ\), то \(\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD\). Однако это неверно, нужно найти \(\angle ADB\). Углы \(\angle CAD\) и \(\angle CBD\) опираются на одну дугу, значит \(\angle CAD = \angle CBD = 70^\circ\). Рассмотрим треугольник ABD. В нем \(\angle BAD = \angle BAC = 180^\circ - \angle BCA - \angle ABC\). Известно, что \(\angle ABC = 112^\circ\). Углы \(\angle BDC\) и \(\angle BAC\) опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Значит \(\angle BDC = \angle BAC\). \(\angle ADC = 68^\circ = \angle ADB + \angle BDC\) следовательно \(\angle ADB = 68 - \angle BAC\). Не хватает данных. Угол \(ACD = ABD\) опираются на одну и ту же дугу. \(\angle ACB = 180 - \angle ABC - \angle BAC\), \(\angle ADC = 180 - \angle ABC = 180 - 112 = 68\) \(\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC = 68 - BAC\), \(\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 112 - 70 = 42\) Ответ: 42°