4. Четырехугольник МПКР задан координатами своих вершин M(5; -3), N(1; 2), K(4; 4), Р(6; 1). Найдите синус угла между его диагоналями.

Найдем координаты векторов диагоналей MP и NK:

• MP = (6 - 5; 1 - (-3)) = (1; 4)
• NK = (4 - 1; 4 - 2) = (3; 2)

Найдем косинус угла между векторами MP и NK:

$$cos\varphi = \frac{MP \cdot NK}{|MP| \cdot |NK|} = \frac{1 \cdot 3 + 4 \cdot 2}{\sqrt{1^2 + 4^2} \cdot \sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{3 + 8}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{13}} = \frac{11}{\sqrt{221}}$$.

Теперь найдем синус угла между векторами MP и NK:

$$sin^2\varphi + cos^2\varphi = 1$$

$$sin^2\varphi = 1 - cos^2\varphi$$

$$sin^2\varphi = 1 - (\frac{11}{\sqrt{221}})^2 = 1 - \frac{121}{221} = \frac{221 - 121}{221} = \frac{100}{221}$$

$$sin\varphi = \sqrt{\frac{100}{221}} = \frac{10}{\sqrt{221}}$$

Ответ: $$\frac{10}{\sqrt{221}}$$.