Диагонали параллелограмма равны 8 см и 10 см, а угол между ними 120°. Найдите периметр параллелограмма.

Пусть параллелограмм будет ABCD, где AC = 10 см и BD = 8 см - диагонали, а угол между ними - 120°. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда AO = OC = 5 см и BO = OD = 4 см.

Рассмотрим треугольник AOB. Угол AOB = 120°. Стороны AO = 5 см и BO = 4 см. По теореме косинусов найдем сторону AB:

$$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot cos120^\circ$$

$$AB^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2})$$

$$AB^2 = 25 + 16 + 20 = 61$$

$$AB = \sqrt{61}$$ см

Рассмотрим треугольник BOC. Угол BOC = 180° - 120° = 60°. Стороны BO = 4 см и OC = 5 см. По теореме косинусов найдем сторону BC:

$$BC^2 = BO^2 + OC^2 - 2 \cdot BO \cdot OC \cdot cos60^\circ$$

$$BC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}$$

$$BC^2 = 16 + 25 - 20 = 21$$

$$BC = \sqrt{21}$$ см

Периметр параллелограмма равен 2 * (AB + BC):

$$P = 2 \cdot (\sqrt{61} + \sqrt{21})$$ см

Ответ: $$2 \cdot (\sqrt{61} + \sqrt{21})$$