3. В параллелограмме MNKP MN = 8 см, MP = 7√3 см, ∠M = 30°. Найдите диагонали параллелограмма.

В параллелограмме MNKP известны стороны MN = 8 см, MP = $$7\sqrt{3}$$ см и угол M = 30°. Требуется найти диагонали MK и NP.

Чтобы найти диагональ NP, рассмотрим треугольник MNP. В этом треугольнике известны две стороны MN и MP и угол между ними M. По теореме косинусов:

$$NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 \cdot MN \cdot MP \cdot cosM$$

$$NP^2 = 8^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{3} \cdot cos30^\circ$$

$$NP^2 = 64 + 49 \cdot 3 - 112\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$NP^2 = 64 + 147 - 112 \cdot \frac{3}{2}$$

$$NP^2 = 211 - 168 = 43$$

$$NP = \sqrt{43}$$ см

Чтобы найти диагональ MK, рассмотрим треугольник MPK. В этом треугольнике известны стороны MP и PK (PK = MN = 8 см) и угол P = 180° - M = 180° - 30° = 150°.

По теореме косинусов:

$$MK^2 = MP^2 + PK^2 - 2 \cdot MP \cdot PK \cdot cosP$$

$$MK^2 = (7\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 8 \cdot cos150^\circ$$

$$MK^2 = 147 + 64 - 112\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$$

$$MK^2 = 211 + 112 \cdot \frac{3}{2}$$

$$MK^2 = 211 + 168 = 379$$

$$MK = \sqrt{379}$$ см

Ответ: $$\sqrt{43}$$ и $$\sqrt{379}$$