1. Четырехугольник. Сумма углов четырёхугольника. 2. Свойство касательной к окружности (формулировка и доказательство). 3. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

1. Четырехугольник. Сумма углов четырехугольника.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

2. Свойство касательной к окружности:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром O и касательная a, касающаяся окружности в точке A.

Проведем радиус OA в точку касания.

Докажем, что OA перпендикулярна a.

Предположим, что OA не перпендикулярна a. Тогда существует точка B на прямой a, такая, что OB перпендикулярна a.

Но тогда OB < OA (как катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике OAB).

Это означает, что точка B находится внутри окружности, что противоречит условию, что a является касательной к окружности.

Следовательно, OA перпендикулярна a.

3. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть дан произвольный четырехугольник ABCD. Пусть M, N, P, Q - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Докажем, что MNPQ - параллелограмм.

Рассмотрим треугольник ABC. MN - средняя линия треугольника, поэтому MN || AC и MN = $$ \frac{1}{2} AC $$.

Рассмотрим треугольник ADC. QP - средняя линия треугольника, поэтому QP || AC и QP = $$ \frac{1}{2} AC $$.

Следовательно, MN || QP и MN = QP.

Аналогично, MQ || NP и MQ = NP.

Так как MN || QP и MQ || NP, то MNPQ - параллелограмм.