1. Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. 2. Площадь прямоугольника (формулировка и доказательство). 3. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см. а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника.

1. Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника:

Синус острого угла прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

2. Площадь прямоугольника:

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольник ABCD, где AB = a и BC = b.

Проведем диагональ AC. Она делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника ABC и ADC.

Площадь каждого из этих треугольников равна половине произведения катетов, то есть $$\frac{1}{2} ab$$.

Следовательно, площадь прямоугольника ABCD равна сумме площадей этих треугольников.

$$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2} ab + \frac{1}{2} ab = ab$$

3. Дано: описанный четырехугольник, сумма двух противоположных сторон равна 12 см, радиус вписанной окружности равен 5 см.

Найти: площадь четырехугольника.

Решение:

Площадь описанного четырехугольника можно вычислить по формуле:

$$S = pr$$

где p - полупериметр четырехугольника, r - радиус вписанной окружности.

Так как сумма двух противоположных сторон равна 12 см, то периметр четырехугольника равен 24 см.

Полупериметр p = 24/2 = 12 см.

Радиус вписанной окружности r = 5 см.

Площадь четырехугольника:

$$S = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2$$

Ответ: 60 см²