1. Свойства площадей. 2. Теорема о средней линии треугольника (формулировка и доказательство). 3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. считая от основания. Найдите периметр треугольника.

1. Свойства площадей.

• Равные фигуры имеют равные площади.
• Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

2. Теорема о средней линии треугольника:

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC. Пусть M и N - середины сторон AB и BC соответственно.

Проведем среднюю линию MN.

Докажем, что MN || AC и MN = $$ \frac{1}{2} AC $$.

Рассмотрим треугольники ABC и MBN. У них угол B общий.

Так как M и N - середины сторон AB и BC, то BM/BA = BN/BC = $$ \frac{1}{2} $$.

Следовательно, треугольники ABC и MBN подобны по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия следует, что угол BMN равен углу BAC и угол BNM равен углу BCA.

Следовательно, MN || AC.

Также из подобия следует, что MN/AC = BM/BA = $$ \frac{1}{2} $$.

Следовательно, MN = $$ \frac{1}{2} AC $$.

3. Дано: равнобедренный треугольник, точка касания окружности делит боковую сторону на отрезки 3 см и 4 см, считая от основания.

Найти: периметр треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC.

Пусть окружность вписана в треугольник и касается стороны BC в точке D.

Тогда BD = 3 см и DC = 4 см.

Следовательно, BC = BD + DC = 3 + 4 = 7 см.

Так как треугольник равнобедренный, то AB = BC = 7 см.

Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны.

Пусть окружность касается стороны AB в точке E, а стороны AC в точке F.

Тогда AE = AF, BE = BD = 3 см, CF = CD = 4 см.

Следовательно, AE = AB - BE = 7 - 3 = 4 см.

Тогда AF = AE = 4 см.

Следовательно, AC = AF + FC = 4 + 4 = 8 см.

Периметр треугольника ABC равен:

P = AB + BC + AC = 7 + 7 + 8 = 22 см.

Ответ: 22 см