1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Квадрат. 2. Теорема о вписанном угле (формулировка и доказательство). 3. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: АВ, если ОВ=4 см, OD-10 см, DC=25 см.

1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Квадрат.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны (все равны 90°).
• Диагонали равны.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

2. Теорема о вписанном угле:

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

Пусть дан вписанный угол ABC, опирающийся на дугу AC.

Центр окружности может находиться внутри угла, на стороне угла или вне угла.

Рассмотрим случай, когда центр окружности O находится внутри угла ABC.

Проведем радиусы OA и OC.

Угол AOC - центральный угол, опирающийся на дугу AC.

Известно, что центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Следовательно, угол AOC = дуга AC.

Треугольники AOB и COB - равнобедренные, так как OA = OB = OC = r (радиус окружности).

Следовательно, угол OAB равен углу OBA и угол OCB равен углу OBC.

Сумма углов треугольника равна 180°.

В треугольнике AOB: угол OAB + угол OBA + угол AOB = 180°.

2 * угол OBA + угол AOB = 180°.

угол OBA = (180° - угол AOB)/2.

Аналогично, угол OBC = (180° - угол COB)/2.

Угол ABC = угол OBA + угол OBC = (180° - угол AOB)/2 + (180° - угол COB)/2 = (360° - (угол AOB + угол COB))/2 = (360° - угол AOC)/2 = (360° - дуга AC)/2 = (360° - дуга AC)/2.

Следовательно, угол ABC = дуга AC / 2.

3. Дано: трапеция ABCD, АВ и CD - основания, диагонали пересекаются в точке О, ОВ = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см.

Найти: АВ.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOB и COD.

У них угол AOB равен углу COD (вертикальные углы).

Угол OAB равен углу OCD (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).

Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам.

Из подобия следует, что стороны треугольников пропорциональны:

$$ \frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD} $$

$$ \frac{AB}{25} = \frac{4}{10} $$

$$ AB = \frac{4 \cdot 25}{10} = 10 $$

Ответ: AB = 10 см.