25 Четырёхугольник ABCD co сторонами AB = 5 и CD=17 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке К, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника, если известно, что все его стороны имеют разную длину.

Пусть радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD, равен R.

Т.к. ABCD - вписанный, то $$\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ}$$.

Рассмотрим треугольник ABK и CDk:

$$\angle AKB = \angle CKD = 60^{\circ}$$ - вертикальные.

$$\angle BAK = \angle BDC$$ - опираются на одну дугу ВС.

Следовательно, треугольники ABK и CDk - подобны по двум углам.

$$\angle BAC = \angle BDC$$.

В треугольнике АВК по теореме синусов:

$$\frac{AB}{sin \angle AKB} = 2R \Rightarrow R=\frac{AB}{2sin \angle AKB}$$.

Подставим известные значения:

$$R = \frac{5}{2 sin 60^{\circ}} = \frac{5}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$