22 Постройте график функции y=2|x-5|-x²+11x-30. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три общие точки.

Запишем функцию в виде:

$$y = \begin{cases} 2(x-5)-x^2+11x-30, & x \geq 5 \\ -2(x-5)-x^2+11x-30, & x < 5 \end{cases}$$

$$y = \begin{cases} 2x-10-x^2+11x-30, & x \geq 5 \\ -2x+10-x^2+11x-30, & x < 5 \end{cases}$$

$$y = \begin{cases} -x^2+13x-40, & x \geq 5 \\ -x^2+9x-20, & x < 5 \end{cases}$$

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) $$x \geq 5: y = -x^2 + 13x - 40$$

Это парабола, ветви направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-13}{2 \cdot (-1)} = 6.5$$

$$y_в = -6.5^2 + 13 \cdot 6.5 - 40 = -42.25 + 84.5 - 40 = 2.25$$

2) $$x < 5: y = -x^2 + 9x - 20$$

Это парабола, ветви направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-9}{2 \cdot (-1)} = 4.5$$

$$y_в = -4.5^2 + 9 \cdot 4.5 - 20 = -20.25 + 40.5 - 20 = 0.25$$

Найдем значение функции в точке стыка $$x=5$$:

$$y(5) = -5^2 + 9 \cdot 5 - 20 = -25 + 45 - 20 = 0$$

Найдем нули функции $$y = -x^2 + 13x - 40$$:

$$ -x^2+13x-40 = 0$$

$$x^2-13x+40=0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = 5$$

Найдем нули функции $$y = -x^2 + 9x - 20$$:

$$ -x^2+9x-20=0$$

$$x^2-9x+20=0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 1}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки при $$m = 0$$ и при $$m = 0.25$$.

Ответ: 0; 0,25