Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 25 и СD = 16 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке К, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, диагонали AC и BD пересекаются в точке K, и угол AKB равен 60°.

Угол AKB равен углу CKD (вертикальные углы), то есть \[\angle AKB = \angle CKD = 60^\circ\]

Угол BKC равен углу AKD и равен \[180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\]

Рассмотрим треугольник ABK. Угол BAK равен углу BDC (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу BC).

Рассмотрим треугольник CDK. Угол DCK равен углу DBA (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AD).

По теореме синусов для треугольника ABK:

\[\frac{AB}{\sin \angle AKB} = 2R\]

\[\frac{25}{\sin 60^\circ} = 2R\]

\[2R = \frac{25}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{50}{\sqrt{3}}\]

\[R = \frac{25}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: \(\frac{25\sqrt{3}}{3}\)