Постройте график функции y=|x(x+1)-6x|. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Преобразуем функцию:

\[y = |x(x+1) - 6x| = |x^2 + x - 6x| = |x^2 - 5x|\]

Рассмотрим функцию без модуля: \[f(x) = x^2 - 5x\]

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы:

\[x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{5}{2} = 2.5\]

\[y_в = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25\]

Координаты вершины параболы: (2.5; -6.25)

Найдем нули функции: \[x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0\]

Корни: x = 0 и x = 5

Теперь применим модуль: \[y = |x^2 - 5x|\]

Часть параболы, находящаяся ниже оси x, отразится вверх.

Вершина параболы станет (2.5; 6.25)

Прямая y = m будет иметь с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через вершину отраженной параболы или через ось x.

То есть, m = 0 или m = 6.25

Ответ: m = 0, m = 6.25