1. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30° и 135°, a CD-29.

Рассмотрим трапецию ABCD, где углы ABC и BCD равны 30° и 135° соответственно, CD = 29.

1) Проведём высоту CH из вершины C.

2) В прямоугольном треугольнике BCH угол CBH = 180° - угол BCD = 180° - 135° = 45°.

3) Так как угол BCH = 90°, то угол CBH = 45°, следовательно, треугольник BCH равнобедренный, и CH = BH.

4) Проведём высоту DK из вершины D. Тогда CH = DK и четырёхугольник CDKH — прямоугольник, следовательно, HK = CD = 29.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. В нём угол ABK = углу ABC = 30°, следовательно, AK = AB/2.

6) Заметим, что AK = AH - HK = AH - CD, а AH = BH - AB.

7) Имеем: DK = CH, а CH = BH, тогда DK = BH.

8) Рассмотрим прямоугольные треугольники ABK и DCH. Угол ABK = углу DCH = 30°, следовательно, AB/DK = CD/BK.

9) Обозначим AB = x. Получим: x/DK = 29/(BH-AK) = 29/(BH - (AH - CD)).

Решить задачу в общем виде затруднительно, необходимо уточнение условия.

Предположим, что трапеция ABCD является равнобедренной. Тогда AB = CD = 29.

В этом случае AH = BK.

Пусть CH = DK = h.

Тогда в треугольнике DCH: DH = h * ctg(30°) = h * √3.

В треугольнике ABK: BK = AB * cos(30°) = 29 * √3/2.

Следовательно, AD = HK + DH + BK = 29 + h * √3 + 29 * √3/2.

Также, CH = DC * sin(135°) = 29 * √2/2.

Следовательно, AD = 29 + 29 * √2/2 * √3 + 29 * √3/2 = 29 * (1 + √6/2 + √3/2).

Боковая сторона AB = 29.

Ответ: 29