Четырёхугольник ABCD вписан B окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 8, DK = 24, BC = 18. Найдите AD.

По свойству секущихся хорд:

$$BK \cdot AK = CK \cdot DK$$

Пусть AD = x, тогда AK = AB + BK и CK = CD + DK.

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, то по теореме об отрезках пересекающихся хорд, имеем:

$$BK \cdot AK = DK \cdot CK$$

Заметим, что CK = BC = 18. Тогда

$$8 \cdot AK = 24 \cdot 18$$ $$AK = \frac{24 \cdot 18}{8} = 3 \cdot 18 = 54$$

Тогда АВ = АК - ВК = 54 - 8 = 46.

Рассмотрим треугольники BCK и ADK. ∠ВКС = ∠AKD - общий, ∠CBK = ∠ADK (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу АС). Следовательно, треугольники BCK и ADK подобны по двум углам.

Из подобия следует, что \(\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK}\).

Тогда \(\frac{18}{AD} = \frac{8}{24}\).

AD = \(\frac{18 \cdot 24}{8} = 18 \cdot 3 = 54\).

Ответ: 54