16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=24, BC=18. Найдите AD.

По свойству секущихся окружности, если ABCD вписан в окружность, а прямые AB и CD пересекаются в точке K вне окружности, то выполняются следующие соотношения: \(KB \cdot KA = KC \cdot KD\) По условию, BK = 8, DK = 24, BC = 18. Нужно найти AD. Сначала найдем KC: KD = KC + CD. Пусть AD = x. Тогда KA = KB + BA, и KD = KC + CD. Поскольку ABCD вписан в окружность, произведения отрезков секущих, проведенных из точки K, равны: \(KB \cdot (KB + AB) = KD \cdot (KD - CD)\) Из подобия треугольников \(\triangle KBC \sim \triangle KDA\), следует: \(\frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD}\) Подставим известные значения: \(\frac{8}{24} = \frac{18}{AD}\) \(\frac{1}{3} = \frac{18}{AD}\) \(AD = 3 \cdot 18 = 54\) Ответ: 54