Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 8, DK = 24, BC = 18. Найдите AD.

По теореме о секущихся:

$$KB \cdot KA = KD \cdot KC$$

Пусть AD = x. Тогда KA = KB + BC + x = 8 + 18 + x = 26 + x, KC = KD + DC = 24 + DC

С другой стороны, треугольники KBC и KAD подобны (по двум углам: ∠K общий, ∠B = ∠D как вписанные, опирающиеся на одну дугу).

Тогда

$$\frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD}$$ $$\frac{8}{24} = \frac{18}{x}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{18}{x}$$ $$x = 18 \cdot 3 = 54$$

Следовательно, AD = 54.

Ответ: 54