1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК-4, DK-12, BC-21. Найдите AD.

1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, прямые AB и CD пересекаются в точке K. Дано: BK = 4, DK = 12, BC = 21. Найти AD.

По свойству секущихся хорд имеем:

$$ AK \cdot BK = CK \cdot DK $$

Пусть AK = x, тогда:

$$ 4x = CK \cdot 12 $$ $$ CK = \frac{4x}{12} = \frac{x}{3} $$

По теореме о секущихся и касательных:

$$ BK \cdot AK = CK \cdot DK $$ $$ (AK)(BK) = (DK)(CK) $$

Из условия, что четырехугольник ABCD вписан в окружность, следует подобие треугольников BCK и ADK.

Тогда:

$$ \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK} $$

Подставляем известные значения:

$$ \frac{21}{AD} = \frac{4}{12} $$

Решаем уравнение относительно AD:

$$ AD = \frac{21 \cdot 12}{4} = 21 \cdot 3 = 63 $$

Ответ: 63