605 Числитель несократимой обыкновенной дроби на 5 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь уменьшится на 1 3 Найдите эту дробь.

Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x + 5$$.

Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то новая дробь будет $$\frac{x - 2}{x + 5 + 16} = \frac{x - 2}{x + 21}$$.

По условию, дробь уменьшится на $$\frac{1}{3}$$, значит,

$$ \frac{x}{x + 5} - \frac{x - 2}{x + 21} = \frac{1}{3} $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{x(x + 21) - (x - 2)(x + 5)}{(x + 5)(x + 21)} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{x^2 + 21x - (x^2 + 5x - 2x - 10)}{x^2 + 21x + 5x + 105} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{x^2 + 21x - x^2 - 3x + 10}{x^2 + 26x + 105} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{18x + 10}{x^2 + 26x + 105} = \frac{1}{3} $$

Умножим крест-накрест:

$$ 3(18x + 10) = x^2 + 26x + 105 $$ $$ 54x + 30 = x^2 + 26x + 105 $$

Перенесем все в одну сторону:

$$ x^2 + 26x - 54x + 105 - 30 = 0 $$ $$ x^2 - 28x + 75 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75 = 784 - 300 = 484$$ $$x_1 = \frac{28 + \sqrt{484}}{2} = \frac{28 + 22}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ $$x_2 = \frac{28 - \sqrt{484}}{2} = \frac{28 - 22}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Проверим оба значения:

Если $$x = 25$$, то дробь $$\frac{25}{25 + 5} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$$

$$\frac{25 - 2}{25 + 21} = \frac{23}{46} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Если $$x = 3$$, то дробь $$\frac{3}{3 + 5} = \frac{3}{8}$$

$$\frac{3 - 2}{3 + 21} = \frac{1}{24}$$ $$\frac{3}{8} - \frac{1}{24} = \frac{9}{24} - \frac{1}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$

Оба значения подходят.

Ответ: $$\frac{3}{8}$$ или $$\frac{25}{30}$$