604 Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к зна менателю 5, то она увеличится на 1. Найдите эту дробь

Обозначим числитель дроби за $$x$$, тогда знаменатель будет $$x + 3$$.

После изменений числитель станет $$x + 7$$, а знаменатель $$x + 3 + 5 = x + 8$$.

Уравнение будет выглядеть так:

$$ \frac{x + 7}{x + 8} - \frac{x}{x + 3} = \frac{1}{2} $$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{(x + 7)(x + 3) - x(x + 8)}{(x + 8)(x + 3)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x^2 + 3x + 7x + 21 - x^2 - 8x}{x^2 + 3x + 8x + 24} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{2x + 21}{x^2 + 11x + 24} = \frac{1}{2} $$

Умножим крест-накрест:

$$ 2(2x + 21) = x^2 + 11x + 24 $$ $$ 4x + 42 = x^2 + 11x + 24 $$

Перенесем все в одну сторону:

$$ x^2 + 11x - 4x + 24 - 42 = 0 $$ $$ x^2 + 7x - 18 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$

Так как числитель не может быть отрицательным (иначе знаменатель будет отрицательным), то $$x = 2$$.

Тогда числитель равен 2, знаменатель равен $$2 + 3 = 5$$.

Дробь равна $$\frac{2}{5}$$.

Проверим:

$$\frac{2 + 7}{5 + 5} = \frac{9}{10}$$ $$\frac{9}{10} - \frac{2}{5} = \frac{9}{10} - \frac{4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $$\frac{2}{5}$$