№5. Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби увеличить на 6, а знаменатель — на 5, то полученная дробь будет на $$\frac{1}{2}$$ больше исходной. Найдите исходную дробь.

Решение: Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x + 4$$. Исходная дробь: $$\frac{x}{x + 4}$$. После изменений: числитель $$x + 6$$, знаменатель $$x + 4 + 5 = x + 9$$. Новая дробь: $$\frac{x + 6}{x + 9}$$. Уравнение: $$\frac{x + 6}{x + 9} = \frac{x}{x + 4} + \frac{1}{2}$$. Умножим обе части на $$2(x + 4)(x + 9)$$, при условии $$x
eq -4, x
eq -9$$. $$2(x + 6)(x + 4) = 2x(x + 9) + (x + 4)(x + 9)$$. $$2(x^2 + 10x + 24) = 2x^2 + 18x + x^2 + 13x + 36$$. $$2x^2 + 20x + 48 = 3x^2 + 31x + 36$$. $$x^2 + 11x - 12 = 0$$. Дискриминант: $$D = 11^2 - 4 * 1 * (-12) = 121 + 48 = 169$$. Корни: $$x_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-11 + 13}{2} = 1$$, $$x_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-11 - 13}{2} = -12$$. Если $$x = 1$$, то дробь $$\frac{1}{5}$$. Если $$x = -12$$, то дробь $$\frac{-12}{-8} = \frac{3}{2}$$. Проверим: Для $$\frac{1}{5}$$: $$\frac{1 + 6}{1 + 9} = \frac{7}{10}$$. $$\frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 5}{10} = \frac{7}{10}$$. Верно. Для $$\frac{3}{2}$$: $$\frac{-12 + 6}{-12 + 9} = \frac{-6}{-3} = 2$$. $$\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$$. Верно. Ответ: Исходные дроби $$\frac{1}{5}$$ и $$\frac{3}{2}$$.