7. CK : BK=1:2.∠B=?∠CAB=?

В прямоугольном треугольнике ABC, AK - биссектриса прямого угла ∠CAB, а CK : BK = 1:2.

Пусть ∠CAB = 90°. Так как AK - биссектриса, ∠CAK = ∠BAK = 90°/2 = 45°.

По свойству биссектрисы CK/BK = AC/AB = 1/2. Это значит, что AC = x, AB = 2x.

По теореме Пифагора: AC² + BC² = AB²

BC² = AB² - AC² = (2x)² - x² = 4x² - x² = 3x²

BC = √(3x²)= x√3

Теперь найдем углы:

tg(∠B) = AC/BC = x/(x√3) = 1/√3 = √3/3

∠B = arctg(√3/3) = 30°

∠CAB = 90°.

Ответ: ∠B = 30°, ∠CAB = 90°