ctg(3π/2 + x/2) − 1 ≤ 0

1. Неравенство равносильно \(\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)\le 1\). Используем тождество \(\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)=-\operatorname{tg}t\), учитывая период котангенса π.

2. Тогда \(-\operatorname{tg}(x/2)\le 1\), то есть \(\operatorname{tg}(x/2)\ge -1\). С учётом точек, в которых тангенс не определён, \(\frac{x}{2}\in\left[-\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi\right)\), где \(k\in\mathbb Z\).

3. Умножаем границы на 2.

Ответ: \(x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi;\pi+2k\pi\right),\ k\in\mathbb Z\).