д) Докажите, что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета, то один из его углов равен 30°.

д) Дано: треугольник АВС - прямоугольный, ∠C = 90°, СО - медиана, СО = АС.

Доказать: один из углов равен 30°.

1) В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, следовательно:

$$CO = AO = BO$$

2) Так как СО = АО, то треугольник АСО - равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: ∠САО = ∠АСО.

3) Так как СО = АС, то треугольник АСО - равносторонний, следовательно, все углы равны 60°: ∠САО = ∠АСО = ∠СОА = 60°.

4) Рассмотрим треугольник АВС:

$$∠C = 90°$$ $$∠A = 60°$$ $$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 60° - 90° = 30°$$

Следовательно, один из углов прямоугольного треугольника равен 30°.

Ч.Т.Д.

Ответ: доказано.