в) Отрезок BD – высота треугольника АВС с прямым углом В. Известно, ЧТО АВ = 2BD. Докажите, что ЗАС = 4AD.

в) Дано: BD - высота, ∠АВС = 90°, АВ = 2BD.

Доказать: 3АС = 4AD.

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВD. В нём АВ = 2BD, тогда:

$$sin∠A = \frac{BD}{AB} = \frac{BD}{2BD} = \frac{1}{2}$$

Следовательно, ∠А = 30°.

2) В прямоугольном треугольнике АВС ∠С = 90° - ∠А = 90° - 30° = 60°.

3) Рассмотрим треугольник АВD, в нём ∠ABD = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.

4) Рассмотрим треугольник BDC, в нём ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 90° - 60° = 30°.

5) Рассмотрим треугольник АВС, по теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos∠ABC$$ $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(90°)$$ $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

6) Рассмотрим треугольник BDC, по теореме косинусов:

$$BC^2 = BD^2 + DC^2 - 2 \cdot BD \cdot DC \cdot cos∠BDC$$

7) Рассмотрим треугольник АВD, по теореме косинусов:

$$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot cos∠ABD$$

Доказательство требует дополнительных данных или иного подхода.