10. Дан параллелограмм ABCD. На стороне BC взята точка K, такая, что AK — биссектриса угла A, а DK — биссектриса угла D параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма, если AK = 8 см, DK = 6 см.

Решение: 1) Поскольку AK - биссектриса угла A, а DK - биссектриса угла D, то \(\angle BAK = \angle KAD\) и \(\angle ADK = \angle KDC\). 2) В параллелограмме ABCD, \(\angle A + \angle D = 180^{\circ}\), так как они являются внутренними односторонними углами. Следовательно, \(\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = 90^{\circ}\), то есть \(\angle KAD + \angle ADK = 90^{\circ}\). 3) В треугольнике ADK, \(\angle AKD = 180^{\circ} - (\angle KAD + \angle ADK) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\). Следовательно, треугольник ADK - прямоугольный. 4) По теореме Пифагора, \(AD^2 = AK^2 + DK^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\), следовательно \(AD = 10\). 5) Так как AK и DK - биссектрисы углов A и D соответственно, то \(\angle BAK = \angle KAD\) и \(\angle ADK = \angle KDC\). Поскольку AD || BC, то \(\angle KAD = \angle AKB\) как внутренние накрест лежащие углы. Тогда \(\angle BAK = \angle AKB\), и треугольник ABK - равнобедренный, значит AB = BK. Аналогично, \(\angle ADK = \angle DKC\) как внутренние накрест лежащие углы. Тогда \(\angle KDC = \angle DKC\), и треугольник CDK - равнобедренный, значит CD = CK. 6) Поскольку AB = CD и AD = BC, то AB = BK = CD = CK. Тогда BC = BK + KC = AB + CD, но AB = CD, значит BC = 2AB. 7) Следовательно, AD = BC = 2AB. Получаем, что AB = AD / 2 = 10 / 2 = 5. 8) Площадь параллелограмма равна \(S = AD \cdot AB \cdot sin(\angle A)\). Так как \(AD^2 = AK^2 + DK^2\), \(ADK\) прямоугольный, то \(\angle AKD= 90\). 9) Пусть \(\angle KAD = \alpha\) тогда \(sin(\alpha) = \frac{DK}{AD} = \frac{6}{10} = 0.6\) и \(cos(\alpha) = \frac{AK}{AD} = \frac{8}{10} = 0.8\). \(\angle A = 2\alpha\), значит \(sin(\angle A) = sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha) = 2 \cdot 0.6 \cdot 0.8 = 0.96\). 10) Площадь параллелограмма равна \(S = AB \cdot AD \cdot sin(\angle A) = 5 \cdot 10 \cdot 0.96 = 48\). Ответ: Площадь параллелограмма равна 48 см².