7. Определите количество целых решений системы неравенств: \[\begin{cases} \frac{x+2}{2} - 3 \leq \frac{x-3}{3} \\ x^2 < 5x + 6 \end{cases}\]

Решение: 1) Решим первое неравенство: \[\frac{x+2}{2} - 3 \leq \frac{x-3}{3}\] Умножим обе части на 6: \[3(x+2) - 18 \leq 2(x-3)\] \[3x + 6 - 18 \leq 2x - 6\] \[3x - 12 \leq 2x - 6\] \[3x - 2x \leq 12 - 6\] \[x \leq 6\] 2) Решим второе неравенство: \[x^2 < 5x + 6\] \[x^2 - 5x - 6 < 0\] Найдем корни уравнения \[x^2 - 5x - 6 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 5, x_1 \cdot x_2 = -6\] Корни: \[x_1 = -1, x_2 = 6\] Тогда, неравенство можно переписать как: \[(x+1)(x-6) < 0\] Решением является интервал \[-1 < x < 6\] 3) Решением системы неравенств является пересечение решений двух неравенств: \[x \leq 6\] и \[-1 < x < 6\] То есть, \[-1 < x < 6\] 4) Найдем целые решения системы: Целые числа, удовлетворяющие неравенству \[-1 < x < 6\]: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ответ: 6 целых решений.