8. Найдите все значения переменной, при которых разность дробей \(\frac{x}{x+1}\) и \(\frac{1}{x}\) равна дроби \(\frac{1}{x^2 + x}\).

Решение: 1) Запишем уравнение: \[\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2 + x}\] 2) Приведем к общему знаменателю: \[x(x+1)\] \[\frac{x^2}{x(x+1)} - \frac{x+1}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}\] 3) Учитываем ОДЗ: \(x
eq 0, x
eq -1\) 4) Упростим уравнение: \[\frac{x^2 - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}\] \[x^2 - x - 1 = 1\] \[x^2 - x - 2 = 0\] 5) Решим квадратное уравнение: По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 1, x_1 \cdot x_2 = -2\] Корни: \[x_1 = 2, x_2 = -1\] 6) Проверим корни с учетом ОДЗ: \(x = 2\) подходит, так как \(x
eq 0, x
eq -1\). \(x = -1\) не подходит, так как \(x
eq -1\). Ответ: \(x = 2\).