24. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками через одну середины его сторов, то получится пра вильный треугольник.

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF. Пусть M, N, K, L, P, Q - середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA соответственно. Соединим отрезками через одну середины сторон шестиугольника, то есть соединим точки M, K, P.

Докажем, что треугольник MKP - правильный.

Так как ABCDEF - правильный шестиугольник, все его стороны равны, а все углы равны 120°.

Рассмотрим треугольники ABM, CDK, EFP. Они все равны по двум сторонам и углу между ними (AM = CK = EP, AB = CD = EF, ∠A = ∠C = ∠E = 120°).

Следовательно, MK = KP = PM, и треугольник MKP - равносторонний.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. AM = $$\frac{1}{2}$$AB, ∠A = 120°. MB = $$\sqrt{AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot cos A}$$. MB = $$\sqrt{AB^2 + \frac{1}{4}AB^2 - 2 \cdot AB \cdot \frac{1}{2}AB \cdot (-\frac{1}{2})}$$. MB = $$\sqrt{\frac{7}{4}AB^2}$$. MB = $$\frac{\sqrt{7}}{2}$$AB.

Рассмотрим четырехугольник MBCK. MB = KC = $$\frac{\sqrt{7}}{2}$$AB. ∠B = ∠C = 120°. Следовательно, MK = KP = PM.

Т.к. треугольник MKP равносторонний, то все его углы равны 60°, следовательно, он правильный.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано