25. Основания трапеции относятся как 2: 3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отн шении эта прямая делит площадь трапеции?

Пусть основания трапеции равны 2a и 3a, а высота трапеции равна h. Тогда площадь трапеции равна:

$$S = \frac{2a + 3a}{2} \cdot h = \frac{5a}{2}h$$

Пусть прямая, параллельная основаниям, делит высоту трапеции на h1 и h2, где h1 + h2 = h.

Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении, обратно пропорциональном основаниям, то есть $$\frac{h_1}{h_2} = \frac{3a}{2a} = \frac{3}{2}$$.

Таким образом, h1 = $$\frac{3}{5}$$h и h2 = $$\frac{2}{5}$$h.

Длина отрезка, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, равна среднему гармоническому оснований:

$$x = \frac{2 \cdot 2a \cdot 3a}{2a + 3a} = \frac{12a^2}{5a} = \frac{12}{5}a$$

Эта прямая делит трапецию на две меньшие трапеции. Площадь верхней трапеции:

$$S_1 = \frac{2a + \frac{12}{5}a}{2} \cdot \frac{3}{5}h = \frac{\frac{22}{5}a}{2} \cdot \frac{3}{5}h = \frac{33}{50}ah$$

Площадь нижней трапеции:

$$S_2 = \frac{\frac{12}{5}a + 3a}{2} \cdot \frac{2}{5}h = \frac{\frac{27}{5}a}{2} \cdot \frac{2}{5}h = \frac{27}{50}ah$$

Отношение площадей:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{33}{50}ah}{\frac{27}{50}ah} = \frac{33}{27} = \frac{11}{9}$$

Ответ: 11:9